Funciones de variable real

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Funciones de variable real

Función real de variable real
Función creciente en el intervalo I cumple : " x , x’ Î I , x < x’ Þ f(x) £ f(x’)
Función decreciente en el intervalo I cumple : " x , x’ Î I , x < x’ Þ f(x) ³ f(x’)
Si sustituimos el £ y el ³ por < y > lo hacemos estrictamente.
Función es monótona creciente o decreciente si lo es para todo R.
Función es par si : f(x) = f(-x)
Función es impar si : f(x) = -f(-x)
Función es periódica si : f(x) = f(x + n a ) (Donde n es un nº entero y a es el periodo)

Limite de una función en un punto
Suponemos y = f(x) diremos que cuando al aproximar la x indefinidamente al valor a la función se aproxima indefinidamente al valor l.

Límites laterales
Dada una función f(x) se dice que tiene limite por la derecha del punto a y se representa como :

Condición necesaria y suficiente para que f(x) tenga límite en a es que existan los límites por la derecha e izquierda y que coincidan.

Cálculo de límites (infinitesimos e infinitos)
Se dice que f(x) es un infinitesimo en x = a si se comporta la función de la misma manera que otra en dicho punto. Tabla de infinitesimos :

Se en todas estas funciones se puede sustituir f(x) por x, mientras que f(x) tienda a 0.

Regla de L’Hopital Para 0/0 y ¥/¥
Lim f(x)/g(x) = 0/0 o ¥/¥ Entonces Lim f(x)/g(x) = Lim f’(x)/g’(x)

Continuidad
f(x) es continua en pe pto x = a si se cumple :

Es condición necesaria y suficiente para que sea continua en un punto que

f(x) es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos de ese intervalo.

Discontinuidad (Tipos)

Discontinuidad evitable : Si f(x) no está definida en el punto (x=a) o el limite de la función cuando tiende a (a) no es igual a la función en dicho punto.
Discontinuidad de 1ª especie : Si en el punto existen los límites laterales pero no coinciden.
Discontinuidad de 2ª especie : Cuando alguno de los límites laterales o no existen o son infinitos.

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