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Derivabilidad

Dado y = f(x) en un intervalo I se define la derivada de f(x) representado como f’(x) como :
Si este límite existe diremos que la función es derivable
TEHOREMA : Toda función derivable en x = x0 es continua en dicho punto (Ojo al contrario ¡¡¡¡ NO !!!!)

Tabla de derivadas
dadas u, v = f(x)                         y k, m, a = constantes

PRIMITIVAS	DERIVADAS		PRIMITIVAS	DERIVADAS
y = k	y’ = 0		y = tg( u )	y’ = u’/cos2u y’ = u’ ( 1 + tg2u)
y = k · u	y’ = k · u’		y = sec (u )	y’ = sec(u) · tg(u) ·u’
y = u + v	y’ = u’ + v’		y = cosec( u )	y’ =-cosec(u)·cotg(u)·u’
y = u · v	y’ = u’ · v + u · v’		y = cotg( u )	y’ = -u’/sen2u y’ = u’ -( 1 + cotg2u)
			y = arcsen (u )
y = um	y’ = m · um-1 · u’		y = arccos( u )
			y = arctg( u )
			y = arccotg( u )
y = L u			y = senh( u )	y’ = cosh( u ) · u’
y = lga u			y = cosh ( u )	y’ = senh (u) · u’
y = au	y’ = au · La · u’		y = tgh (u)
y = uv	y’=uv (v’  Lu + v  u’/u)		y = argcosh(u)
y = sen( u )	y’ = cos( u ) · u’		y = argsenh(u)
y = cos( u )	y’ = -sen( u ) · u’		y = argtgh(u)

Derivadas laterales
Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto y sea x0 un punto generico de este intervalo, llamamos derivada en x0 por la derecha  o izquierda y se representa :

Por la derecha de x0	Por la izquierda de x0

Es condición necesaria y suficiente para que exista derivada en un punto que existan derivadas laterales y que coincidan.

Casos en los que no hay derivada:

• Punto anguloso : Ambas derivadas existen y son finitas, pero no coinciden.
• Punto de Inversión : Ambas derivadas laterales son + o - con el mismo signo a la vez.
• Punto de retroceso : Si son infinito pero con signo distinto.

Derivada de la función inversa
Si y = f(x) que cumple que es derivable en x0 y además que f’(x0) no es cero entonces cumple :
Que la función inversa f -‘(y) definida como :
Es derivable en x0, de hecho son continuas en el mismo intervalo

Derivada de funciones paramétricas
Cuando no se puede despejar o es muy complicado, y respecto de x se hace la derivación implicita. Pasos :

• Se deriva con x y con y independiente, pero las que derivemos con y ponemos dy/dx.
• Agrupo en un lado los términos con dy/dx
• Dejo solo el dy/dx y lo demás lo paso dividiendo.

Derivadas sucesivas
Para calcular esto de lo que se trata es derivar sucesivamente pero se puede utilizar Leibniz
Dado u = f(x), v = g(x), dos funciones que admiten derivadas sucesivas.
RECOMENDACIONES :

• Si tienes una función racional se tiene que descomponer primero, de no tener nada en el numerador se trabaja mucho mejor con subiéndolo todo de la siguiente forma : 1/x = x -1.
• Se suele pasar todo a sen o cos, sumandole p/2

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